СОДЕРЖАНИЕ



Яакко Хинтикка (1929–2015).



НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА



А.С. Карпенко, А.В. Чагров. Модальная пропозициональная логика истины Tr и ее полнота.

В статье рассмотрена четырехзначная модальная логика Собочиньского V2 (расширение S5). Прослежено ее возникновение, описываются интересные свойства и приводятся различные эквивалентные формулировки. Особый интерес представляют ее алгебраические модели: в виде расширения алгебры Де Моргана булевым отрицанием ￢ и в виде расширения булевой алгебры эндоморфизмом g, который затем интерпретируется как пропозициональный оператор истинности T. Логика, соответствующая последнему случаю, обозначена посредством Tr. Обращается внимание на применение Tr в теории истины М. Фиттинга. Приводится аксиоматизация Tr в языке (→;￢; T). Доказывается полнота логики Tr с помощью применения очень мощной теоремы Салквиста, которая дает достаточное условие полноты по Крипке для нормальных модальных логик. Доказывается также алгебраическая полнота логики Tr.

Ключевые слова: модальная логика V2, алгебра Де Моргана, булева алгебра, эндомофизмы, логика Tr, теория истины Фиттинга, полнота по Крипке, теорема Салквиста, алгебраическая полнота


В.М. Попов. Секвенциальная аксиоматизация и семантика I-логик васильевского типа.

Изучаемые здесь I-логики васильевского типа были найдены в процессе экспликации некоторых идей российского логика и философа Николая Александровича Васильева, лежащих в основе его «воображаемой логики». Целью этой статьи является демонстрация того, как конструировать простые и удобные для поиска доказательства секвенциальные аксиоматизации I-логик васильевского типа и как строить интуитивно ясные двузначные семантики, адекватные I-логикам васильевского типа. В предлагаемой статье определяются I-логики васильевского типа, строятся их секвенциальные аксиоматизации, даются необходимые семантические определения и доказываются теорема об оправданности HI⟨α,β⟩-выводов (теорема 5) и теорема о полноте HI⟨α,β⟩-выводов (теорема 6). Работа завершается рядом следствий из указанных теорем и анонсом решения проблемы табличности I-логик васильевского типа.

Ключевые слова: I-логика васильевского типа, секвенциальная аксиоматизация I-логик васильевского типа, семантика I-логик васильевского типа



В.И. Маркин. Интерпретация категорических высказываний в терминах релевантного следования.

В статье формулируется нестандартная семантика языка позитивной силлогистики, в которой значимость элементарных формул (форм категорических высказываний) определяется в терминах релевантного следования. Эта идея реализуется в рамках предложенного В.И. Шалаком [3] подхода к построению семантики силлогистики: субъектам и предикатам категорических высказываний сопоставляются в качестве значений формулы языка пропозициональной логики, а определение значимости силлогистических формул использует отношение классической выводимости. В данной работе это отношение заменяется на отношение следования в релевантной логике FDE. Интерпретационная функция δ ставит в соответствие каждому общему термину некоторую формулу пропозиционального языка с исходными связками ￢, ∧, V. Постулируются следующие условия значимости формул силлогистики при интерпретации δ: SaP значима, е.т.е. из δ(S) релевантно следует δ(P); SeP значима, е.т.е. из δ(S) релевантно следует ￢δ(P); SiP значима, е.т.е. из δ(S) не следует релевантно ￢δ(P); SoP значима, е.т.е. из δ(S) не следует релевантно δ(P); для сложных формул стандартные. Силлогистическое исчисление, формализующее класс общезначимых формул, содержит следующие постулаты: классические тавтологии, схемы аксиом (MaP ∧ SaM) ⊃ SaP, (MeP ∧ SaM) ⊃ SeP, SeP ⊃ PeS, SaS, SiP ≡ ￢SeP, SoP ≡ ￢SaP, единственное правило вывода — modus ponens. Доказываются метатеоремы о семантической непротиворечивости и полноте данного исчисления относительно «релевантизированной» семантики.

Ключевые слова: силлогистика, категорические высказывания, релевантное следование, семантика, исчисление, метатеорема о непротиворечивости, метатеорема о полноте



Д.Ю. Максимов. Логика Н.А. Васильева и многозначные Логики.

Рассматривается история понятия многозначности в логике с единых позиций как история отрицания. Основное внимание при этом уделяется логике Н.А. Васильева, ее связям с индийской логикой сйадвада, с логиками Я. Лукасевича, логикой Д.А. Бочвара. Выясняется многозначная природа логики Васильева, ее формальная модель в топосах. В топосах вводится новое понятие отрицания «в некотором смысле». Тогда множество типов суждения у Васильева оказывается множеством образующих дистрибутивной решетки истинностных значений топоса, которые переводятся друг в друга отрицанием «в соответствующем смысле», а васильевское понимание отрицания соответствует решеточному отрицанию (псевдодополнению). Обсуждается понимание Васильевым закона исключенного n-го и паранепротиворечивости: Н.А. Васильев рассматривал свой закон исключенного n-го как дизъюнкцию образующих, как дизъюнкцию разных способов построения отрицательного суждения «в некотором смысле», а закон непротиворечия как конъюнкцию утверждения и его отрицания «в некотором смысле». Указаны условия для моделирования этих законов в категориях.

Ключевые слова: Логика Васильева, многозначная логика, категорная семантика.



Y.I. Petrukhin. Correspondence Analysis for First Degree Entailment.

In this paper natural deduction systems for four-valued logic FDE (first degree entailment) and its extensions are constructed. At that B. Kooi and A. Tamminga’s method of correspondence analysis is used. All possible four-valued unary (⋆) and binary (o) propositional connectives which could be added to FDE are considered. Then FDE is extended by Boolean negation (∼) and every entry (line) of truth tables for ⋆ and o is characterized by inference scheme. By adding all inference schemes characterizing truth tables for ⋆ and o as rules of inference to the natural deduction for FDE, natural deduction for extension of FDE is obtained. In addition, applying of correspondence analysis gives axiomatizations of implicative extensions of FDE including BN4 and some extensions by classical implications.

Keywords: correspondence analysis, natural deduction, first degree entailment, BelnapDunn logic, four-valued logic, implicative extensions, classical implication





СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА



V.I. Shalack. On First-order Theories Which Can Be Represented by Definitions.

In the paper we consider the classical logicism program restricted to first-order logic.The main result of this paper is the proof of the theorem, which contains the necessary and sufficient conditions for a mathematical theory to be reducible to logic. Those and only those theories, which don’t impose restrictions on the size of their domains, can be reduced to pure logic.

Among such theories we can mention the elementary theory of groups, the theory of combinators (combinatory logic), the elementary theory of topoi and many others.

It is interesting to note that the initial formulation of the problem of reduction of mathematics to logic is principally insoluble. As we know all theorems of logic are true in the models with any number of elements. At the same time, many mathematical theories impose restrictions on size of their models. For example, all models of arithmetic have an infinite number of elements. If arithmetic was reducible to logic, it would had finite models, including an one-element model. But this is impossible in view of the axiom 0 ≠ x′.

Keywords: definition, definability, predicate calculus, theory, logicism



Y.G. Sedov. Remarks Concerning the Phenomenological Foundations of Mathematics.

In this paper I investigate the phenomenological approach to foundations of mathematics. Phenomenological reflection plays the certain role in extension of mathematical knowledge by clarification of meanings. The phenomenological technique pays our attention to our own acts in the use of the abstract concepts. Mathematical constructions must not be considered as passive objects, but as categories are given in theoretical acts, in categorical experiences and in our senses. Phenomenology moves like a category theory from formal components of knowledge to the dynamics of constitutive process.

Keywords: Phenomenology of mathematics, infinite structures, category theory, abstract objects, movement, visibility





ИСТОРИЯ ЛОГИКИ



С.Н. Корсаков. Из истории возрождения логики в СССР в 1941–1946 гг. Часть II.

В статье на основе архивных документов рассказывается о начальном этапе возрождения преподавания и изучения логики в СССР в первой половине 1940-х гг. Рассматриваются: беседа Сталина с директором Института философии АН СССР П.Ф. Юдиным о создании учебника логики в 1941 г., ход и итоги обсуждения учебников логики В.Ф. Асмуса и Э.Я. Кольмана в Институте философии АН СССР в 1943 г., обсуждение вопроса о переиздании учебника логики Г.И. Челпанова в Институте философии АН СССР в 1943 г., работа Курсов для подготовки преподавателей логики в вузах и школах Минвуза СССР в 1946 г.

Ключевые слова: логика, советская философия, Институт философии, сталинизм





ПЕРЕВОДЫ

Л.Э.Я. Брауэр. Недостоверность принципов логики (Перевод А.Н. Непейводы).